Variance dan Covariance Pada Sebuah Matriks


Misalnya kita punya Matriks: Baris x Kolom, dimana jumlah baris adalah 6 dan jumlah kolom adalah 3.  Baris dalam matriks bisa kita sebut sebagai observasi atau eksperimen yang berjumlah 6 kali. Sedangkan kolom dalam matriks kita anggap sebagai variabel. Sehingga jumlah variabel ada 3 dan masing-masing variabel kita lakukan percobaan sebanyak 6 kali percobaan. Sebagai contoh kita punya matrix:

X=\begin{bmatrix}  1 & 2 & 6\\  3 & 2 & 6\\  2 & 5 & 6\\  7 & 7 & 9\\  3 & 10 &2 \\  8 & 3 & 4  \end{bmatrix}

Maka variance \sigma^2_X pada matrix tersebut adalah variance untuk tiap variabel. Sehingga kita akan memperoleh 3 buah variabel. Biasnya kita menggunakan rumus misalnya pada variabel pertama \sigma^2_{X_{v_1}}=\mathsf{E}[(X_{v_1}-\bar{x}_{v_1})^2], di mana \bar{x}_{v_1} adalah mean atau rata-rata atau ekspektasi dari 6 kali percobaan pada variabel 1.

\sigma^2_X=\begin{bmatrix} \sigma^2_{X_{v_1}} & \sigma^2_{X_{v_2}}& \sigma^2_{X_{v_3}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  8 & 10.17 & 5.5  \end{bmatrix}

sedangkan covariance Cov(X) pada matriks tersebut adalah pada bagian diagonal nilainya sama dengan variance, karena pada diagonal ini adalah mean dari perkalian dari variabel yang sama setelah dikurangi oleh mean variabel tersebut. Contohnya covariance pada baris 1 dan kolom 1 adalah \mathsf{E}[(X_{v_1}-\bar{x}_{v_1})(X_{v_1}-\bar{x}_{v_1})], di mana rumus ini sama dengan \sigma^2_{X_{v_1}}. Sedangkan jika baris neq kolom, misalnya pada bari 1 dan kolom 2 maka nilai covariance berbeda dengan variance karena memakai rumus \mathsf{E}[(X_{v_1}-\bar{x}_{v_1})(X_{v_2}-\bar{x}_{v_2})]. Oleh karena itu kita memiliki Covariance Matriks dengan dimensi 3 baris dan 3 kolom.

Cov(X)=\begin{bmatrix}Cov(X_{11})&Cov(X_{12})&Cov(X_{13})\\  Cov(X_{21})&Cov(X_{22})&Cov(X_{23})\\  Cov(X_{31})&Cov(X_{32})&Cov(X_{33}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8&1&1\\  1&10.17&-2.1\\  1&-2.1&5.5 \end{bmatrix}

Apabila variabel adalah white Gaussian noise yang masing-masing memiliki variansi yang sama, maka covariance dari variabel-variabel ini adalah [1]
\bold{\Sigma}_n=\sigma_n \mathbf{I}= \sigma_n \begin{bmatrix} 1 & 0& ... & 0\\ 0&1&...&0\\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&1 \end{bmatrix},
di mana white Gaussian noise merupakan penyederhaan dari color Gaussian noise dangan proses whitening.

Referensi:
[1] C. -I. Chang, “Hyperspectral Data Processing: Algorithm Design and Analysis,” Wiley.

Bahan bacaan
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

Pos ini dipublikasikan di Tidak terkategori. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s