Galois Filed (dibaca Medan Galoa) direpresentasikan oleh . dimana adalah prime maupun pangkat dari . Untuk biner maka adalah 2.
Misalkan adalah elemen nonzero pada , maka akan ada bilangan bulat yang terkecil sehingga . Bilangan bulat ini disebut orde dari elemen medan . Di dalam medan terbatas , elemen nonzero disebut primitif jika order adalah . Sehingga, pangkat dari elemen primitif membangkitkan seluruh elemen nonzero . Setiap medan terbatas memiliki elemen primitif.
Sebagai contoh kita ambil bilangan bulat 3 di dalam , maka kita dapatkan:
Maka bisa kita lihat diatas bahwa , oleh karena itu orde bilangan bulat 3 adalah 6 yang merupakan yaitu 7-1=6, sehingga bilang bulat 3 adalah elemen primitif dari
Contoh lain kita ambil bilangan bulat 4 di dalam . Maka bisa kita lihat pangkat 4 di bawah ini:
Bisa kita lihat bahwa order dari bilangan bulat 4 adalah 3. Maka 4 bukanlah elemen primitif dari .
Contoh lain adalah elemen primitif untuk suatu dengan hasil sebagai berikut:
maka bisa kita dapatkan bahwa elemen primitif tersebut adalah adalah 5, adalah 7. Jadi bilangan bulat adalah elemen primitif dari .
Satu medan Galois memiliki sekurang-kurangnya satu buah elemen primitif. Setiap elemen nonzero lainnya dapat dituliskan sebagai pangkat dari lemen primitif tersebut.
Kode dari medan biner dan perluasannya merupakan kode yang paling banyak digunakan secara luas di dalam transmisi data digital dan sistem storage dikarenakan informasi sistem ini dikodekan secara universal di dalam bentuk biner untuk alasan praktis.
irreducible polynomial dengan derajat disebut primitif jika bernilai dan juga nilai tersebut harus merupakan bilangan bulat positif yang terkecil untuk case membagi
Sebagai contoh, dapat membagi dan tidak bisa membagi untuk nilai . Berarti merupakan polynomial primitif untuk derajat bernilai 4.
Contoh lain adalah merupakan polynomial primitif untuk derajat yang bernilai 3.
Sedangkan contoh yang bukan polynomial primitif adalah karena bisa membagi sampai bernilai 5 yaitu sedangkan tidak berharga .
Tidak mudah untuk mengenali primitif polynomial. Tapi sudah ada list yang menunjukkan primitif polynomial jumlah terkecil dengan derajat dari di bawah ini. Untuk sebuah , maka ada kemungkinan lebih dari satu primitif dari derajat .
Berikut list primitif polynomial
merupakan elemen primitif dari . Untuk membangun bisa kita lakukan sebagai contoh berikut
Untuk dengan derajat yang mempunyai polynomial primitf yaiut , maka kita bisa membangun elemen dengan cara . Sehingga kita dapatkan bahwa .
Identitas digunakan untuk membentuk representasi polynomial untuk elemen .
Contoh di bawah ini untuk membentuk dari representasi pangkat = representasi polynomial = representasi biner = representasi desimal.
Berikut ini adalah konstruksi elemen untuk dengan derajat dengan polynomial primitif adalah . Sehingga . Kemudian kita dapatkan identitas
Contoh penjumlahan
Contoh perkalian
Bibliografi:
1. S. Lin, D. J. Costello, Error Control Coding: Fundamentals and Applications, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey: 1983.
2. Sugihartono, Slide Kuliah Pengkodean Kanal, STEI ITB, 2011.